• Introduktion
• von Koch-kurvan
• Sierpinskis triangel
• Pytagoriska träd
• Logistisk avbildning
• Feigenbaums träd
• Mandelbrot­mängden
• Uppgifter
• Startsidan

Logistisk avbildning

I det här exemplet utgår vi från det rekursiva sambandet:

x_n+1 = a·x_n·(1-x_n)

där höger sida av likheten är ett kvadratiskt uttryck i x. Vi ska välja värde på parametern a och ett startvärde x₀. Därefter beräknar vi genom en iterativ process en serie nya värden på x genom att hela tiden utgå från det föregående x:et. Se exempel nedan.

Med uttrycket kan vi se hur slutresultatet av en serie beräkningar är känsligt för hur vi väljer startvärdet och parametern a. För vissa startvärden kommer de nya x-värdena att följa ett mönster, men för andra startvärden kommer vi få en serie värden som verkar bete sig kaotiskt.

Den logistiska avbildningen kan t ex användas för att beskriva tillväxten hos en djurpopulation. Variabeln x är den storhet vi vill undersöka, det kan t ex vara antalet sorkar inom ett område ett visst år. (Eftersom vi låter x ligga mellan 0 och 1 anger x snarare andelen sorkar av ett tänkt teoretisk maxvärde.) Värdet n anger vilket steg i beräkningen vi är på. (Om vi räknar sorkar kan det t ex vara året.) Med x₀ menar vi antalet sorkar från början, x₁ är antalet sorkar efter ett år, och x₂ är antalet sorkar efter två år och så vidare. Talet a får beskriva alla yttre omständigheter: antalet rovdjur, tillgången på mat med mera.

Så här fungerar det

Du bestämmer dig först för ett värde på parametern a, mellan 1 och 4. Som exempel kan vi välja 2. Sedan väljer du det x-värde (mellan 0 och 1) som du vill starta på. Detta kallar vi alltså x₀ och i detta exempel kan vi välja 0,4.

Med hjälp av formeln räknar vi ut nästa x-värde, dvs x₁:

x₁ = a·x₀·(1 - x₀) = 2·0,4·(1 - 0,4) = 0,48.

Värdet 0,48 blir nu utgångsvärdet för nästa steg, när vi ska beräkna x₂:

x₂ = a·x₁·(1 - x₁) = 2·0,48·(1 - 0,48) = 0,4992.

Och så håller vi på några gånger. I vårt exempel får vi följande serie med värden:

I det här fallet verkar det som om värdet stabiliserar sig kring 0,5. Men för vissa kombinationer av a och x_o kan man få väldigt annorlunda resultat. Se exemplen nedan för att räkna och rita ut resultatet i ett diagram.

Du ställer in parametern a och startvärdet x₀ med reglagen och gör en ny beräkning med knappen Next step.

Öppna i eget fönster

I diagrammet till vänster får vi en grafisk framställning av hur varje nytt x-värde är beräknat utifrån det föregående. Gå rakt upp från x₀ på den horisontella x-axeln till parablen, och sedan rakt i sidled till den räta linjen så hittar vi vårt nya x-värde.

Det högra diagrammet visar x-värdena på den vertikala axeln för varje ny beräkning. Den horisontella axeln visar n-värdet.

Exempel

Här är några förslag på startvärden du kan använda:

Läs mer

Engelska Wikipedia: Logistic map